Séminaire de Théorie du Contrôle de Toulon
Organisateurs : F. C. Chittaro, N. Boizot, E. Busvelle, J.-P. Gauthier.

Depuis 2018, le séminaire de théorie du contrôle a en partie fusionné avec le séminaire du pôle analyse et contrôle des systèmes (ACS) du laboratoire LIS.
Cette page ne recense que les séminaires organisés à Toulon sur des fonds de recherche de l'IUT de Toulon.

Atténuer les congestions internet grâce aux outils de l'automatique.

Orateur: Michel Fliess, LIX, France
Lieu: Université de Toulon, Salle X133
Date: Jeudi 7 décembre 2023, 14.30-15.30
Résumé: Active Queue Management (AQM) for mitigating Internet congestion has been addressed via various feedback control syntheses, especially P, PI, and PID regulators, by using a linear approximation where the round trip time, i.e., the delay, is assumed to be constant. This constraint is lifted here by using a nonlinear modeling with a variable delay, introduced more than 20 years ago. This delay, intimately linked to the congestion phenomenon, may be viewed as a flat output. All other system variables, especially the control variable, i.e., the packet loss ratio, are expressed as a function of the delay and its derivatives: they are frozen if the delay is kept constant. This flatness-like property, which demonstrates the mathematical discrepancy of the linear approximation adopted until today, yields also our control strategy in two steps: Firstly, designing an open-loop control, thanks to straightforward Flatness-Based Control (FBC) techniques, and secondly, closing the loop via Model-Free Control (MFC) in order to take into account severe model mismatches, like, here, the number of TCP sessions. Several convincing computer simulations, which are easily implementable, are presented and discussed.

An introduction to quantum filtering.

Orateur: John Gough, Aberystwith University, UK
Lieu: Université de Toulon, Salle X133
Date: Mardi 19 septembre 2023, 14.30-15.30

Contrôlabilité des systèmes quantiques en dimension infinie.

Orateur: Eugenio Pozzoli, IMB, France
Lieu: Université de Toulon, Salle X133
Date: Jeudi 20 octobre 2022, 14.30-15.30
Résumé: L'étude des propriétés de contrôlabilité d'un système quantique joue un rôle important dans les applications en physique et en chimie, comme par example la spectroscopie et l'information quantique. Les questions que j'aborderai dans cet exposé sont principalement deux : (i) le système (fermé) peut-il être contrôlé parmi tous ses états ? (ii) quels états peuvent être atteints en temps petit ? La question (i) est un problème de contrôlabilité bilinéaire (globale). La question (ii) est un problème d'accessibilité bilinéaire en petit temps, lié au problème du temps minimal. Dans le cadre où l'état évolue dans un espace infini-dimensionnel, je présenterai quelques réponses aux questions (i) en utilisant des approximations fini-dimensionnelles avec des contrôles périodiques et (ii) en utilisant une technique de saturation issue du contrôle géométrique avec des contrôles pas bornés. Je montrerai aussi des applications de ces résultats au contrôle de la dynamique rotationelle des molécules, vues comme des corps rigides quantiques.

Approche Géométrique pour l'Etude des Géodésiques Anormales dans des Problèmes de Contrôle Optimal Planaires.

Orateur: Jérémy Rouot, Laboratoire de Mathématiques de Bretagne Atlantique, Brest, France
Lieu: Université de Toulon, Bât. X, Salle 133
Date: Jeudi 16 décembre 2021, 14.30-15.30
Résumé: Nous étudions deux problèmes de contrôle optimal planaires pour analyser la relation entre les géodésiques anormales, les propriétés de l'ensemble d'accessibilité et de la fonction valeur (temps minimal). Nous présenterons le problème de navigation de Zermelo dans le plan en généralisant l'exemple historique du calcul des variations traité par Carathéodory et Zermelo dans le but de calculer le chemin le plus court d'une côte à une autre en présence d'un courant fort ou d'un courant faible. Les géodésiques anormales apparaissent comme les courbes limites du cône des directions admissibles dans le cas d'un courant fort. En utilisant la théorie des singularités, on analyse la singularité dans un cas général du point de rebroussement de l'anormale à l'aide d'une forme seminormale, ce qui nous permet par ailleurs d'étudier la fonction valeur temps minimal au voisinage de ce point.
Le second problème a pour but de classifier les synthèses temps minimal pour des séquences de réactions chimiques visant à optimiser la concentration d'une espèce, en particulier nous nous intéresserons au graphe réactionnel de McKeithan. Le problème de contrôle optimal sous-jacent possède la même structure géométrique que le problème de Zermelo, celle d'atteindre une cible de codimension 1 en temps minimal. Les synthèses optimales sont classifiées sous des conditions génériques en utilisant la théorie des singularités et du calcul formel et permettent d'illustrer le rôle des trajectoires singulières.
Références :
1. Bonnard B., Rouot J., Towards Geometric Time Minimal Control without Legendre Condition and with Multiple Singular Extremals for Chemical Networks. An Extended Version (2021, hal-03327127).
2. Bonnard B., Rouot J., Wembe B., Accessibility, Abnormal Geodesics in Optimal Control. A Geometric Approach from Singularity Theory using Two Cases Studies (soumis 2021, hal-03310348).

Moving Horizon Methods for Constrained and Unconstrained Estimation of Dynamic Systems

Orateur: Angelo Alessandri, DIPTEM Università degli Studi di Genova
Lieu: Université de Toulon, Bât. X, Salle 133
Date: 25 Avril 2019, 14 h
Résumé: Moving-horizon estimation (MHE) for dynamic systems relies on the simple idea of using a limited amount of most recent information to estimate the state variables at the current time instant, thus ensuring intrinsic robustness. The literature on MHE is vast since it has followed a favorable trend induced by the success of the model predictive control. MHE has been applied to estimation of many kind of systems in different application fields. The talk will concern the various approaches adopted to perform MHE to systems with linear, nonlinear, and switching dynamics and different optimization tools.

Non holonomie : des robots mobiles à l’homme qui roule

Orateur: Jean-Paul Laumond, LAAS, CNRS
Lieu: Université de Toulon, Bât. X, Amphi X300
Date: 21 novembre 2018 , 14 h
Résumé: Le propos de l’exposé est de montrer comment à partir des années 1990’s la robotique a intégré des techniques issues du contrôle géométrique (commande optimale, platitude différentielle) pour automatiser le calcul des mouvements de robots mobiles soumis à la contrainte non holonome de roulement sans glissement. Nous présenterons à la fois les problèmes résolus et les questions restant encore ouvertes à ce jour. Dans un deuxième temps, nous verrons comment l’étude de la forme des trajectoires locomotrices humaines amène à poser dans ce cadre des problèmes de commande optimale inverse encore non résolus.

Optimal control of spin systems with applications in Magnetic Resonance

Orateur: Dominique Sugny Laboratoire Interdisciplinaire Carnot de Bourgnogne
Lieu: Université de Toulon, Bât. X, Salle 133
Date: Mercredi 7 mars 2018, 11h
Résumé: Optimal control can be viewed as a generalization of the classical calculus of variations for problems with dynamical constraints. Optimal control was born in its modern version with the Pontryagin Maximum Principle in the late 1950’s. Its development was originally inspired by problems of space mechanics, but it is now a key tool to study a large spectrum of applications extending from robotics and electronics to quantum mechanics and Nuclear Magnetic Resonance. Solving an optimal control problem means finding a particular control law (i.e. a particular pulse sequence), the optimal control, such that the corresponding trajectory satisfies given boundary conditions and minimizes a cost criterion. Although its implementation looks straightforward, the practical use of optimal control techniques is far from being trivial and each control problem has to be analyzed using geometric and numerical methods.
This talk is aimed at giving a general overview of the current development of optimal control theory and of its application in the design of radio-frequency pulses in Nuclear Magnetic Resonance and Magnetic Resonance Imaging. Both geometric and numerical approaches will be detailed and applied to control the spin dynamics governed by the Bloch equations. Different examples will be treated such as the optimization of the saturation process, the simultaneous control of a spin ensemble and the enhancement of the contrast in MRI. Short and long-term perspectives will be discussed.

A propos de commande optimale périodique avec contrainte intégrale sur l'entrée

Orateur: Alain Rapaport, MISTEA, INRA-Montpellier
Lieu: Université de Toulon, Bât. X, Salle 133
Date: 8 février 2018
Résumé: Nous considérons une classe de dynamiques scalaires qui admettent un équilibre $x*$ asymptotiquement stable pour une commande constante $u*$. On s'intéresse aux solutions $T$-périodiques avec $0\leq T\leq x*$ et une commande (périodique) telle que la moyenne sur une période soit égale à $u*$. On donne tout d'abord des conditions pour lesquelles il existe de telles solutions (non constantes) dont la moyenne de $l(t)$) sur une période soit inférieure à $l(x*)$, pour un critère $l()$ donné. Dans un deuxième temps, on caractérise les solutions qui minimisent le coût moyen, sous contraintes de périodicité et d'intégrale sur la commande. Finalement, on étudie la monotonie du coût optimal pour ce problème en fonction de la période. La convexité joue un rôle important dans les résultats obtenus. Cette étude a été motivée par un problème de respect de qualité d'eau traitée par un bioprocédé d'épuration.
Travail en commun avec F.-Z. Tani (MISTEA) et T. Bayen (U. Montpellier)

Contributions à la conception d'observateurs d'état pour les systèmes non linéaires lipschitziens : quelques techniques simples et utiles.

Orateur: Ali Zemouche, CRAN, Nancy
Lieu: Université de Toulon, Bât. X, Salle 133
Date: 16 Novembre 2017, 15.30-16.30
Résumé: Durant la présentation, quelques techniques simples, mais utiles, pour la conception d'observateurs d'état des systèmes non linéaires lipschitziens seront présentées. Après l'introduction d'une technique LMI (Inégalité Linéaire Matricielle) avec toutes les généralisations et les améliorations possibles, l'observateur à grand-gain sera évoqué. Quelques astuces permettant de réduire les valeurs de l'observateur à grand gain seront données. Une sorte d'indice de compromis sera introduit. Cet indice permet de modifier le placement de pôles, donné par l'observateur à grand-gain classique, afin de réduire (significativement) la valeur du paramètre de réglage (le fameux θ). Cette technique permet à la fois d'obtenir un observateur avec un gain moins élevé que le grand-gain standard et de toujours garantir une solution à la technique LMI proposée au début de la présentation. En effet, l'exploitation des propriétés "jolies" de l'observateur à grand-gain permet de résoudre le problème de faisabilité des techniques LMIs. Si le temps le permet, une deuxième technique de légère amélioration du grand gain sera abordée. Il s'agit de l'utilisation de plusieurs paramètres de réglage au lieu d'un seul ( $θ_i$, $i=1,...,n$).

Contrôle en temps minimal pour des systèmes régis par l'équation des ondes ou de Schrödinger

Orateur: Jérôme Lohéac, LS2N Nantes
Lieu: Université de Toulon, Bât. X, Salle 133
Date: 12 octobre 2017, 15.30-16.30
Résumé: Dans cet exposé, je considérerais des systèmes de contrôle linéaires x'=Ax+Bu en dimension infinie, avec A le générateur d'un semi-groupe d'isométries. Etant donné un état initial et un état final, le problème consiste à envoyer l'état initial sur l'état final avec un contrôle de norme inférieure à 1. Je montrerai que ce problème admet un temps minimal et un contrôle en temps minimal. Par ailleurs, je discuterais les conditions d'optimalité (eg principe du maximum de Pontryagin) des contrôles en temps minimal ainsi que leur unicité et leur caractère bang-bang.

Switching in time-optimal problems

Orateur: Andrei A. Agrachev, SISSA/ISAS, Trieste, Italie
Lieu: Université de Toulon, Bât. X, Salle 133
Date: Mercredi 24 Mai 2017, 15.30-16.30
Résumé: We study the time-optimal problem for generic control-affine system of the form: \[\dot{x}=f_0(x)+\sum_{i=1}^k u_i f_i(x),\] $x\in R^n$, $\sum_{i=1}^k u^2_i\leq 1$, where $n>k>1$, and try to decode the structure of jump discontinuities of the optimal control in terms of Lie bracket relations between the vector fields $f_0,f_1,\ldots,f_n$. Pontryagin Maximum Principle, the blow-up procedure, and partially hyperbolic dynamics allow to reduce the problem to the study of a simple dynamical system on the sphere $S^{k−1} $.
This is a joint work with Carolina Biolo, SISSA.

Low-Power High-Gain observers

Orateur: Daniele Astolfi, CRAN, Nancy
Lieu: Université de Toulon, Bât. X, Salle 133
Date: 27/04/2017, 14.30
Résumé: High-gain observers have been extensively used in nonlinear control since the end of the 80's for their tunability property, namely the fact that the rate of convergence of the observer can be tuned by acting with one single high-gain parameter. This important feature is motivated by the use of observers in output feedback control and it has been proved that this tunability property plays a key role in establishing a nonlinear separation principle. Despite the evident bene ts of this class of observers, their use in real applications is questionable due to some drawbacks. Mainly: numerical issues due to the fact that we need to implement coefficients which increases polynomially with the system dimension; the well-known peaking phenomenon; high sensitivity to measurement noise. Motivated by these considerations, we propose a new class of nonlinear high-gain observers, denoted as "low-power high-gain observers", that preserves the same high-gain features but which substantially overtakes (or improves) the aforementioned drawbacks. The low-power high-gain observers are characterized by having coefficients which does not grow with the system dimension, by avoiding the peaking phenomenon and by improving the sensitivity to high-frequency measurement noise. The proposed observers can be used without loss of generality with respect to standard high-gain observers in frameworks of observations, output feedback or output regulation.

Equations différentielles stochastiques rétrogrades unidimensionnelles. Existence de solutions par domination.

Orateur: Khaled Bahlali, IMATH, Toulon
Lieu: Université de Toulon, Bât. X, Salle 133
Date: 9 Mars 2017, 15.30-16.30
Résumé: Les équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR) linéaires apparaissent comme l'équation adjointe dans la formulation du principe du maximum de Pontryagin en contrôle stochastique. Les (EDSR) non linéaires sont, elles, étroitement liées aux équations aux dérivées partielles (EDP) semilinéaires et permettent une interprétation probabiliste de ces dernières. Les (EDSR) sont représentées par un coefficient (aléatoire) noté $H(t, \omega, y, z)$ et une donnée terminale notée $\xi$. La solution est un couple de processus noté $(Y, Z)$. Dans le lien avec les EDP semilinéaires, $H(t, Y, Z)$ correspondra à la partie non-linéaire, $\xi$ à la valeur terminale (ou initiale), $Y$ à la solution et $Z$ au gradient de la solution.
Les (EDSR) quadratiques sont celles dont le coefficient $H(t, Y, Z)$ est de croissance au plus quadratique en $Z$. Ces (EDSR) (quadratiques) sont liées aux EDP quadratiques, qui ont été étudiées par H. Amann, M. Crandall, G. Barles, L. Boccardo, F. Murat, etc.. Tous ces travaux considèrent le cas où la donnée terminale est bornée ou ayant un moment exponentiel. Dans cet exposé, je donne un exemple qui montre que l'integrabilité exponenetielle de la donnée terminale n'est pas nécessaire à l'existence de solutions d'EDSR quadratiques. Ensuite, je présenterai une méthode de domination qui permet de traiter de façon unifiée la plupart des EDSR unidimensionnelles. La méthode de domination s'exprime comme suit : si $(\xi_1 , H_1 )$ et $(\xi_2, H_2)$ sont deux EDSR ayant respectivement pour solutions $(Y_1, Z_1 )$ et $(Y_2, Z_2 )$ telles que $(\xi_1, H_1, Y_1 ) \leq (\xi_2 , H_2 , Y_2)$, alors tout EDSR $(\xi, H)$ vérifiant $(\xi_1, H_1) \leq (\xi, H) \leq (\xi_2 , H_2 )$ possède au moins une solution $(Y, Z)$ satifaisant $Y_1 \leq Y \leq Y_2$ . Cette méthode de domination est une alternative (différente) aux techniques de comparaison usuellement utilisées.

Géométrie sous-riemannienne en dimension infinie.

Orateur: Sylvain Arguillère , Institut Camille Jordan, Lyon
Lieu: Université de Toulon, Bât. X, Salle 133
Date: 26 Janvier 2017, 15.30-16.30
Résumé: Je commencerai par définir les notions de structures sous-riemanniennes faibles et fortes sur une variété de Banach, et je comparerai les propriétés et résultats des cas de dimension finie et infinie. En particulier, on pourra voir qu'il n'y a à priori pas de principe du maximum de Pontryagin en dimension infinie, à cause de l'apparition d'un troisième type de minimiseur: les géodésiques élusives. Il s'agit de courbes pour lesquelles l'application point final est d'image dense non fermée. Toutefois, on pourra tout de même obtenir un flot géodésique normal grâce au Hamiltonien. Je donnerai également une variante en dimension infinie du théorème de Chow-Rashevski.

Some control strategies for scalar conservation laws with application to traffic flow

Orateur: Maria Laura Delle Monache , Inria Grenoble Rhône-Alpes
Lieu: Université de Toulon, Bât. X, Salle 133
Date: 24 Novembre 2016, 15.30-16.30
Résumé: In this talk we will show some control strategies for scalar conservation laws. In particular, first we will focus on the problem of Lyapunov boundary stabilization of the weak entropy solution to a scalar conservation law with strictly convex flux in one dimension of space, around a uniform equilibrium. We show that for a specific class of boundary conditions, the solution to the initial-boundary value problem for an initial condition with bounded variations can be approximated arbitrarily closely in the L1 norm by a piecewise smooth solution with finitely many discontinuities.
Later on we will show an application to traffic flow. More in detail, we describe an optimal control problem for traffic regulation via variable speed limit. The traffic flow dynamics is described with 1D scalar conservation law. We provide existence of a minimizer and compute analytically the cost functional variations due to needle-like variation in the control policy.

Contrôle optimal inverse: le cas sous-riemannien

Orateur: Frédéric Jean , UMA - ENSTA
Lieu: Université de Toulon, Bât. X, Salle 133
Date: 13 Octobre 2016, 15.30-16.30
Résumé: Un problème de contrôle inverse se formule de la façon suivante: étant donné un ensemble de trajectoires et un système de contrôle, retrouver un coût par rapport auquel ces trajectoires sont optimales. La première question à se poser est celle de l'unicité de la solution d'un tel problème. Pour des classes de coût générales, le problème apparaît très difficile, même avec une dynamique triviale. On s'intéresse donc à cette question pour la classe des coûts quadratiques en le contrôle, la dynamique étant linéaire en le contrôle (cas riemanniens et sous-riemanniens). Dans ce cas on peut réduire le problème en la question de l'existence de métriques géodésiquement équivalentes, et on décrira les résultats existants, depuis le théorème de Levi-Civita (1890) jusqu'à ceux que nous avons obtenus récemment avec Sofya Maslovskaya et Igor Zelenko.

Distorsion géodésique du volume et courbure de Ricci pour flots Hamiltoniens

Orateur: Davide Barilari , IMJ-PRG and UFR Mathématiques - Université Paris Diderot
Lieu: Université de Toulon, Bât. X, Salle 133
Date: 15 Septembre 2016, 15.30-16.30
Résumé: On généralise le développement classique du volume Riemannien le long du flot géodésique en terme de la courbure de Ricci à une classe de flots Hamiltoniens. On introduit un nouvel invariant qui définit l'interaction entre la forme volume et la dynamique, et on montre comment cet invariant, et aussi des invariants de type courbure associés à la dynamique, apparaissent dans le développement asymptotique.

Why don't we move slower? The cost of time in the neural control of movement.

Orateur: Bastien Berret , CIAMS laboratory - Univ. Paris-Sud, Université Paris-Saclay
Lieu: Université de Toulon, Bât. X, Salle 133
Date: 12 Mai 2016, 15.30-16.30
Résumé: Most daily life actions are executed at a speed which is neither too fast nor too slow. While movement duration (or averaged speed) is a fundamental characteristic of motor control, the principles underlying its formation, be they neural or computational, remain in practice little understood. This talk will address that issue within the inverse optimal control framework where the challenge is to uncover what optimality criterion underlies a system's behavior. Here we rely on the “cost of time” theory that finds its roots into the brain's tendency to discount the actual value of future reward. It asserts that the time elapsed until action completion entails a cost, thereby making slow moves non-optimal. By means of a thorough theoretical analysis, we will show it is actually possible to sample the infinitesimal values of the time cost without making any prior assumption about its hypothetical nature and resorting to parametric fitting. Our results will emphasize its sigmoidal shape for arm reaching, thereby ruling out linear as well as purely concave or convex time costs for limb movement control. These findings may offer a unique opportunity to study how the brain values the passage of time in healthy and pathological motor control, and thus shed new light on the processes underlying action invigoration in human movement.

Immersions de systèmes et Observateurs.

Orateur: Hassan Hammouri , LAGEP - Université Claude Bernard Lyon 1
Lieu: Université de Toulon, Bât. X, Salle 133
Date: 4 Février 2016, 15.30-16.30
Résumé: On entend par immersion de systèmes une application différentielle qui envoie les trajectoires d'un système dans autre et qui préserve l'application entrée-sortie des deux systèmes. Ce problème a été initié par Kupka et Fliess en fin des années 70. Depuis plusieurs contributions ont été apportées et notamment les travaux de J-P. Gauthier lorsqu'il s'agit de l'immersion des systèmes non linéaires de dimension finie en des systèmes bilinéaires de dimension infinie, ou encore de dimension finie lorsqu'il s'agit des formes normales d'observabilité. Sous l'hypothèse que les trajectoires d'un système dynamique restent dans un compact d'un ouvert $\Omega$ de $\mathbb{R}^n$, et sous une certaine hypothèse d'observabilité, dans cet exposé, je montre l'existence d'un plongement $\Phi$ de $\Omega$ dans $\mathbb{R}^N,$ qui immerge le système non linéaire initial dans un système ayant une forme normale d'observabilité. Ce plongement est ensuite utilisé pour construire un observateur de dimension $n+N$. Ce dernier ne nécessite pas d'optimisation, ni la connaissance de l'expression $\Phi^{-1}$.

Intégration numérique adaptative en dimension modérée: application au pricing d'options européennes.

Orateur: Sylvain Maire , LSIS - Université de Toulon
Lieu: Université de Toulon, Bât. X, Salle 133
Date: 3 Décembre 2015, 15.30-16.30
Résumé: Le calcul numérique d'intégrales reposent sur deux types de méthodes: les méthodes de quadrature de type Gauss-produit utilisables plutot en petite dimension et les méthodes Monte-Carlo ou quasi-Monte Carlo pour les grandes dimensions. Nous développons dans un premier temps des quadratures efficaces pour des dimensions intermédiaires (inférieures à 10) construites à partir d'un ajustement par moindres carrés d'un modèle polynomial creux sur des données aléatoires bien choisies. Ces quadratures sont très efficaces pour les fonctions régulières mais pour des fonctions moins régulières, on doit procéder à un découpage du domaine afin de localiser les zones de fortes variations. Nous proposerons deux techniques adaptatives pour effectuer ce découpage utilisant les quadratures précédentes comme éléments de base. Enfin nous donnerons des exemples numériques pour le pricing d'options ou la fonction à intégrer est seulement continue au voisinage d'une surface à localiser numériquement car elle s'écrit comme une partie positive.

High order iterated integrals: Combinatorics and path planning.

Orateur: Matthias Kawski , Arizona State University, Tempe
Lieu: Université de Toulon, Bât. X, Salle 133
Date: 01 Octobre 2015, 15.30-16.30
Résumé: A common strategy when addressing path planning problems involves nilpotent approximating systems. For low order terms, both iterated Lie brackets and iterated integral functionals, for most practical purposes, are characterized by their finely homogeneous degrees. But starting with length five, the internal combinatorial structure presents new challenges to deciding controllability, and in steering algorithms, e.g. the labelled planar binary trees ((f,g),(f,(f,g))) and (g,(f,(f,(f,g)))) map to independent Lie brackets. We review some combinatorial and algebraic structures, present sample calculations in computer algebra, including possible choices for free nilpotent control systems, and compare some older and newer strategies for steering with sinusoids.

Temps minimal en contrôle bilinéaire quantique.

Orateur: Nabile Boussaïd , Laboratoire de Mathématiques de Besançon
Lieu: Université de Toulon, IUT Bât. E, Salle E101B-E101
Date: 25 Juin 2015, 15.30-16.30
Résumé: Le but de mon exposé est de présenter un résultat assez récent en collaboration avec Marco Caponigro (CNAM, Paris) et Thomas Chambrion (IECL, Nancy). C'est un exemple académique de système quantique avec un contrôle distribué pour lequel la contrôlabilité approchée peut (au niveau théorique) se faire en un temps arbitrairement petit avec une précision arbitrairement petite. Si le temps le permet, je passerai en revue les résultats existants dans la bibliographie.

Quantum ergodicity for sub-Riemannian Laplacians.

Orateur: Emmanuel Trélat , LJLL, Paris VI et IUF
Lieu: Université de Toulon, IUT Bât. E, Salle E101B-E101
Date: 21 Mai 2015, 16.30-17.30
Résumé: Shnirelman proved in 1974 the following theorem: "Let $(X,g)$ be a closed Riemannian manifold with ergodic geodesic flow, and let $(\phi_n,\lambda_n)$ be a spectral decomposition of the Laplacian. Then there exists a density-one sequence $(n_j)$ of integers such that the sequence of probability measures $|\phi_{n_j}|^2 dx_g $ (with $dx_g$ the Riemannian measure) converges weakly to the measure $dx_g$." In this talk I will give a version of that theorem for sub-Riemannian Laplacians on a 3D contact manifold, and I will discuss possible extensions to other SR geometries.
This is a joint work with Yves Colin de Verdière (Grenoble) and Luc Hillairet (Orléans).

Généricité de l'observabilité pour les systèmes échantillonnés.

Orateur: Jean-Claude Vivalda , IECL, Vandoeuvre-lès-Nancy
Lieu: Université de Toulon, IUT Bât. E, Salle E101B-E101
Date: 23 Avril 2015, 16.00-17.00
Résumé: Considérons un système \begin{align*} \dot x&= f(x,u)\\ y & = h(x,u) \end{align*} avec $x\in X$, $u\in U$ et $y\in\mathbf{R}^p$; $X$ et $U$ des variétés différentielles compactes. On choisit une période d'échantillonnage T et on considère le système \begin{align*} x_{k+1} & = \varphi_T^{u_k}(x_k)\\ y_k & = h(x_k,u_k) \end{align*} avec $ \varphi_y^u$ le flot associé au champ de vecteur $f(\cdot,u)$ ($u$ constant). Le but de cet exposé est de montrer que, si le nombre d'entrées du système est strictement plus petit que le nombre de sorties (i.e. $m < p$) alors l'ensemble des couples $(f,h)$ tels que le système échantillonné est observable est partout dense.
(Il s'agit d'un travail commun avec S. Ammar et M. Massaoud).

State and parameter estimations for open quantum systems.

Orateur: Pierre Rouchon , CAS, MinesParisTech
Lieu: Université de Toulon, IUT Bât. E, Salle E200
Date: 19 Mars 2015, 15.30-16.30
Résumé: Quantum filtering takes into account measurement back-action and imperfections. We present here the structure of the underlying Markovian models. We show that state and parameter estimations based on quantum filtering are always stable processes: the fidelity between the quantum state (density operator) and its estimate is a sub-martingale. We begin to explain these filters in the discrete-time case for the photon box experiments realized in the group of Serge Haroche (Nobel Prize 2012). We present then these models in the continuous-time case where the density operator is governed by a stochastic differential equation driven by Wiener and/or Poisson processes.

Almost-Riemannian geometry and Linear Vector-Fields on Lie Groups

Orateur: Philippe Jouan , Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem, Université de Rouen
Lieu: Université de Toulon, IUT Bât. E, Salle E101B-E101
Date: 23 Janvier 2015, 11.00-12.00
Résumé: A vector field on a connected Lie group G is said to be linear if its flow is a one parameter group of automorphisms (also called infinitesimal automorphism), and a controlled system on G is said to be linear if the drift vector field is linear, and the controlled ones are right invariant. The motivation for dealing with such systems is twofold. On the one hand they are natural extensions of invariant systems on Lie groups. On the other one they can be generalized to homogeneous spaces and appear as models for a wide class of systems, on account of the Equivalence Theorem of [1] .
It is natural to define an Almost-Riemannian Structure, ARS in short, on a connected Lie group G by n=dim G invariant or linear vector fields, considered as an orthonormal frame. This kind of ARS can also be defined on homogeneous spaces, and we show that a general ARS that generates a finite dimensional Lie algebra is diffeomorphic to an ARS on a Lie group or a homogeneous space. This equivalence is local or global according to some technical assumptions. Excepted for the equivalence statement, we will describe ARSs on Lie groups defined by one linear vector field and n-1 invariant ones. This description includes the singular locus, the Hamiltonian equations of the geodesics, the abnormal extremals, the desingularization, and is applied to examples.
[1] Ph. Jouan Equivalence of Control Systems with Linear Systems on Lie Groups and Homogeneous Spaces, COCV (2010)

Geometric Structures for Statistics on Shapes and Deformations in Computational Anatomy: from Riemannian to affine geometry

Orateur: Xavier Pennec , INRIA Sophia Antipolis
Lieu: Université de Toulon, IUT Bât. B, AMPHI B200
Date: 11 Décembre 2014, 15.30-16.30
Résumé: Computational anatomy is an emerging discipline at the interface of geometry, statistics, image analysis and medicine that aims at analyzing and modeling the biological variability of the organs shapes at the population level. The goal is to model the mean anatomy and its normal variation among a population and to discover morphological differences between normal and pathological populations. For instance, the analysis of population-wise structural brain changes with aging in Alzheimer's disease requires first the analysis of longitudinal morphological changes for a specific subject. This can be evaluated through the non-rigid registration. Second, To perform a longitudinal group-wise analysis, the subject-specific longitudinal trajectories need to be transported in a common reference (using some parallel transport). To reach this goal, one needs to design a consistent statistical framework on manifolds and Lie groups. The geometric structure considered so far was Riemannian geometry. The main steps are to redefine the mean as the minimizer of an intrinsic quantity: the Riemannian squared distance to the data points. When the Fréchet mean is determined, one can pull back the distribution on the tangent space at the mean to define higher order moments like the covariance matrix. In the context of medical shape analysis, the powerful framework of Riemannian (right) invariant metric on groups of diffeomorphisms (aka LDDMM) has often been investigated for such analyses in computational anatomy. In parallel, efficient image registration methods and discrete parallel transport methods based on diffeomorphisms parametrized by stationary velocity fields (SVF) (DARTEL, log-demons, Schild's ladder etc) have been developed with a great success from the practical point of view but with less theoretical support. In this talk, I will detail the Riemannian framework for geometric statistics and partially extend if to affine connection spaces and more particularly to Lie groups provided with the canonical Cartan-Schouten connection (a non-metric connection). In finite dimension, this provides strong theoretical bases for the use of one-parameter subgroups. The generalization to infinite dimensions would ground the SVF-framework. Other useful but challenging extensions of geometric statistics would be needed in the future to include sub-Riemannian and nonholonomic geometry for statistics on curves, surfaces and complex tissue types.

Méthodes directes en contrôle optimal

Orateur: Mohamed Aidene, L2CSP, Université Mouloud Mammeri, Tizi Ouzou
Lieu: Université de Toulon, IUT Bât. E, Salle E101B-E101
Date: 18 Septembre 2014, 15.30-16.30
Résumé: La «méthode adaptée» a été originellement proposée par Gabasov pour résoudre des problèmes min-max. Dans ce séminaire, on verra comment elle peut être appliquée dans le cadre du contrôle optimal.

Enumerative geometry of geodesics on contact sub-riemannian manifolds

Orateur: Antonio Lerario , Institut Camille Jordan Université Claude Bernard Lyon 1
Lieu: Université de Toulon, IUT Bât. E, Salle E101B-E101
Date: 26 Juin 2014, 15.30-16.30
Résumé: Fix a point q on a Riemannian manifold. Then we can find a sufficiently small neighborhood U of q (for example a convex neighborhood) such that for any other point p in U there is a unique geodesic (critical point of the energy functional) joining p and q and entirely contained in U. Moving to the sub-Riemannian case, the situation dramatically changes. For example in the Heisenberg group H3 with coordinates (x,z) (z is the vertical coordinate) the number v(p) of geodesics between the origin q and p=(x,z) is 8/pi |z|/||x||^2 (up to a uniformly bounded error). In this talk I will study this intriguing phenomenon on contact sub-Riemannian manifolds. In particular, I will show that in this case for every point q and every neighborhood U of q there is a point p in U connected to q by an arbitrarily large number of geodesics (all contained in U). A key step is the observation that, asymptotically, the geodesic count on the original manifold is controlled by the geodesic count on its nilpotent approximation. Joint work with L. Rizzi.

Optimality conditions for trajectories containing a singular arc

Orateur: Gianna Stefani , Dipartimento di Matematica e Informatica - Firenze (Italie)
Lieu: Université de Toulon, IUT Bât. E, Salle E101B-E101
Date: 15 Mai 2014, 15.30-16.30
Résumé: In this talk I'll consider an optimal control problem associated to an affine system on a $n$-dimensional manifold $M$ $$\left\{ \begin{array}{l} \dot{\xi} = \left( f_0 + \sum_{i=1}^m u_i f_i \right) \circ \xi(t) \\ \xi(0) \in N_0, \quad \xi(T) \in N_f\\ \mathbf{u}=(u_1,\ldots,u_m) \in U \subset \mathbb{R}^m \end{array} \right. $$ where $N_0$ and $N_f$ are sub-manifolds of $M$ and all the data are smooth. I'll show how the Hamiltonian approach together to an intrinsic theory of the second variation is suitable to prove second order sufficient conditions for strong optimality in the case when the extremal trajectory contains a singular arc, giving an overview and describing some perspectives and open problems. A hint to the structural stability problem of the optimizers will be also given. The results have been obtained together with Laura Poggiolini from Florence and Francesca Carlotta Chittaro from Toulon.

Convexité du domaine elliptique pour le moyenné du temps minimum en transfert orbital

Orateur: Jean-Baptiste Pomet , INRIA Sophia Antipolis - Méditerranée
Lieu: Université de Toulon, IUT Bât. E, Salle E101B-E101
Date: 10 Avril 2014, 15.30-16.30
Résumé: On décrira le processus de passage à un système moyen pour le transfert orbital en temps minimum et la métrique de Finsler que cela induit sur l'espace des orbites elliptiques. On montrera en particulier que, tout au moins dans un cas restreint, le domaine elliptique est géodésiquement convexe pour cette métrique.
(C'est un travail commun avec B. Bonnard, H. Henninger et J. Nemcova.)

An introduction to quantum feedback and quantum reservoir engineering

Orateur: Mazyar Mirrahimi , INRIA Rocquencourt
Lieu: Université de Toulon, IUT Bât. E, Salle E101B-E101
Date: 6 Mars 2014, 15.00-16.00
Résumé: Stabilizing a quantum system in a desired state has important implications in quantum information science. In control engineering, stabilization is usually achieved by the use of feedback. The closed-loop control paradigm consists of measuring the system in a nondestructive manner, analyzing in real-time the measurement output to estimate the dynamical state and finally, calculating a feedback law to stabilize the desired state. However, the rather short dynamical time-scales of most quantum systems impose important limitations on the complexity of real-time output signal analysis and retroaction. An alternative control approach for quantum state stabilization, bypassing a real-time analysis of output signal, is called reservoir (dissipation) engineering. While dissipation, leading to what is known as decoherence for quantum systems, is generally considered as an obstacle to manipulate such systems in a controlled manner, here we will illustrate how it could be instead used as a resource to robustly stabilize them around a particular quantum state or a manifold of quantum states.

Complexity of control-affine motion planning

Orateur: Dario Prandi , LSIS, Université de Toulon
Lieu: Université de Toulon, IUT Bât. E, Salle E006
Date: 30 Janvier 2014, 15.30-16.30
Résumé: In this talk we study the complexity of the motion planning problem for control-affine systems. Such complexities are already defined and rather well-understood in the particular case of sub-Riemannian (or driftless) systems. Our aim is to generalize these notions and results to systems with a drift. Accordingly, we present various definitions of complexity, as functions of the curve that is approximated, and of the precision of the approximation. Due to the lack of time-rescaling invariance of these systems, we consider geometric and parametrized curves separately. Then, we give some asymptotic estimates for these quantities and discuss the difficulties that arise due to the presence of a drift.
(This is a joint work with F. Jean)

Avancées récentes dans l'analyse des systèmes non-linéaires interconnectés par des concepts liés à l'ISS

Orateur: Antoine Chaillet , L2S-Supélec, Gif-sur-Yvette
Lieu: Université de Toulon, IUT Bât. E, Salle E101B-E101
Date: 28 Novembre 2013, 15.00-16.00
Résumé: Le concept de stabilité entrée-état (ISS), introduit par E.D. Sontag à la fin des années 80, est devenu un outil central pour l'analyse et la commande des systèmes dynamiques non-linéaires. Il a donné lieu à des applications dans des domaines aussi variés que la commande sous contraintes de communication, la robotique, la production manufacturière, les transports, les réseaux biochimiques ou les neurosciences. Plusieurs variantes de l'ISS existent dans la littérature, la plus connue étant la stabilité intégrale entrée-état (iISS). Dans cette présentation, nous rappellerons ces notions et les principales propriétés qu'elles induisent, puis nous donnerons des résultats récents concernant l'interconnexion (par rétroaction et par cascade) de systèmes non-linéaires et leur robustesse vis-à-vis de perturbations exogènes. Nous introduirons en particulier la notion d'iISS Forte, qui constitue un compromis intéressant entre la puissance de l'ISS et la généralité de l'iISS.

3-step nilpotent sub-Riemannian geometry

Orateur: Felipe Monroy-Perez , Departamento de Ciencias Basicas (Matematicas) UAM-Azcapotzalco, Mexique
Lieu: Université de Toulon, IUT Bât. E, Salle E101B-E101
Date: 24 Octobre 2013, 15.00-16.00
Résumé: This talk presents the setting for sub-Riemannian structures defined by means of distributions of vector fields (symbols), that free generate 3-step, 2-solvable finite dimensional Lie algebras. The nilpotency assumption accounts for the maximal length of the Lie brackets, whereas the solvability hypothesis points out the "forbidden" brackets. The Jacobi identity yields a constructive method for writing ordered bases of the Lie algebras, and allows to write the group Law of the associated Lie groups. The sub-Riemannian geodesic problem is formulated as an optimal control problem on the underlying Lie group, and the Pontryagin maximum principle allows to write the Hamiltonian equations for the extremal curves. Integrability aspects of some low dimensional cases are discussed.

Flying with the Greatest of Ease:
Les chauves-souris peuvent voler, pourquoi pas nous ?

Orateur: Kenneth Sebesta , Syn2cat, Luxembourg, et Boston University, Boston
Lieu: Université de Toulon, Bât. R', Salle de Réunion 107
Date: 5 Juillet 2013, 14.00-15.00
Résumé: A Boston University, nous nous posons des questions quant à la capacité des chauves-souris de voler en essaim sans collisions. Nous espérons comprendre leurs règles de vol afin de les adapter aux UAV. En effet, voler en autonomie sans collisions est sans doute la question primordiale qu'il faut résoudre avant que les UAV n'opèrent dans la vie quotidienne.

Noncommuting Flows and Combinatorial Hopf Algebras.

Orateur: Matthias Kawski , Arizona State University, Tempe
Lieu: Université de Toulon, Bât. R', Salle de Réunion 107
Date: 20 Juin 2013, 15.00-16.00
Résumé: Noncommuting flows are a distinguishing feature of geometric control theory. For a long time, Lie-theoretic tools have been a mainstay of differential geometric control theory. Recent insights point to deeper underlying geometric and algebraic structures that are formalized by Zinbiel algebras (dual to Leibniz algebras) and dendriform algebras. This presentation highlights the simplifications resulting form using combinatorial Hopf algebras in geometric dynamical system settings such as Sussmann's exponential product expansion of the Chen series, which may be understood as a continuous Baker-Campbell-Hausdorff formula. We demonstrate how combinatorial formulas for dual PBW-bases for Hall sets provide normal forms for (free) nilpotent control systems, and provide formulas for coordinates of the second kind.

Sur le noyau de la chaleur pour les structures Riemanniennes et sous-Riemanniennes.

Orateur: Grégoire Charlot , Institut Fourier et Université Joseph Fourier, Grenoble
Lieu: Université de Toulon, Bât. R', Salle de Réunion 107
Date: 16 Mai 2013, 15.00-16.00
Résumé: Dans un article récent [1], les auteurs montrent des résultats sur le développement asymptotique en temps courts du noyau de la chaleur, nouveaux en riemannien comme en sous-riemannien, en particulier pour les couples de points (x,y) qui sont conjugués et dans le lieu de coupure l'un de l'autre. Après une introduction au sujet et avoir présenté leur travail, je parlerai ici de prolongements de ces résultats qui permettent, via des considérations sur les singularités au lieu conjugué, d'affiner l'estimation du développement asymptotique du noyau de la chaleur.

[1] D. Barilari, U. Boscain, R. Neel, Small time heat kernel asymptotics at the sub-Riemannian cut locus. JDG Vol 92, No.3, 2012, pp. 373-416.

Invariance properties of equations of MP.

Orateur: Revaz Gamkrelidze , Académie russe des sciences
Lieu: Université de Toulon, Bât. R', Salle de Réunion 107
Date: 11 Avril 2013, 15.00-16.00
Résumé: In selecting the subject of my lecture, I tried not to be excessively specific, though I intend to speak about a pretty special mathematical topic, the equations of MP in optimal control — they generate extremals of the corresponding time-optimal problem. Though initially introduced for purely computational purposes, they turned out to have interesting invariance-geometric properties, which happens quite often with the equations that proved their mathematical validity. The equations I shall discuss are intimately connected with the bundle structure of tangent and cotangent spaces of the configuration manifold of the problem. It is my intention to describe general properties of MP equations and their solutions that are invariant with respect to this structure, so that my lecture could be considered as a master-class devoted to basics of canonical vector fields and differential forms on manifolds, applied to the needs of optimal control theory, and as a case for justification of the viewpoint that the linear language of differential forms and vector fields is completely adequate for describing the general nonlinear optimization problems.

Introduction à la commande « sans modèle ».

Orateur: Michel Fliess , LIX-École Polytechnique, Palaiseau
Lieu: Université de Toulon, Bât. R', Salle de Réunion 107
Date: 7 Mars 2013, 15.00-16.00
Résumé: Trop souvent, l'écriture d'équations différentielles précises et maniables est une gageure impossible à satisfaire pour décrire des systèmes << complexes >>. D'où des difficultés de régulation parfois insurmontables. On propose la commande << sans modèle >>, résultant d'un travail mené avec Cédric JOIN (CRAN, Nancy). Elle résout en bonne partie, sans nécessiter pour autant des calculs lourds, les écueils rencontrées jusqu'alors par les praticiens et les théoriciens de la commande. Coûts, délais de mise au point et qualité sont ainsi notablement améliorés. On illustre le savoir-faire, qui n'exige qu'une familiarité rudimentaire avec des outils mathématiques élémentaires, par diverses simulations numériques et la description d'applications déjà réussies. On conclut par quelques réflexions sur l'automatique.

Stabilité de systèmes à commutation linéaires et analyse de la dynamique sur la sphère de Barabanov.

Orateur: Paolo Mason , L2S-Supélec, Gif-sur-Yvette
Lieu: Université de Toulon, Bât. R', Salle de Réunion 107
Date: 31 Janvier 2013, 14.30-15.30
Résumé: Le problème de la stabilité uniforme des systèmes à commutation (linéaires) peut se reformuler comme un problème d'identification de la "trajectoire la plus instable" du système. Ce dernier problème peut être facilement résolu pour systèmes bi-dimensionnels grâce au théorème de Jordan, mais s'avère être extrêmement difficile à partir de la dimension trois. Grace aux résultats de Barabanov l'étude des trajectoires les plus instables se réduit à l'étude de certaines dynamiques sur une variété homeomorphe à une sphère (sphère de Barabanov). Dans cet exposé je discuterai des résultats et certaines questions ouvertes concernant ces dynamiques et la géométrie des sphères de Barabanov.